Problem 1
假设有 $ m $ 个俱乐部和 $ n $ 个人，满足以下条件： (i) 每个俱乐部的人数为偶数； (ii) 任意两个俱乐部之间共同拥有的人数为奇数。 证明：$ m \le n $。
证：
我们在有限域 $ \mathbb{F}_{2} $ 上考虑。设 $ v_{1},\dots,v_{m}\in \mathbb{F}_{2}^{n} $ 为每个俱乐部对应向量。根据条件，我们知道
- 人数为偶数：$ v_{i}\cdot v_{i}=0 $
- 交集为奇数：$ v_{i}\cdot v_{j}=1(i\neq j) $
考察这 $ m $ 个向量的线性相关性。假设存在系数 $ c_{1},\dots c_{m}\in \mathbb{F}_{2} $ 使得 $$ \sum_{i=1}^{m} c_{i}v_{i}=\mathbf{0} $$ 那么对于任意 $ j\in [m] $，我们将上式与 $ v_{j} $ 做内积 $$ \left( \sum_{i=1}^{m} c_{i}v_{i} \right)\cdot v_{j} = c_{j}(v_{j}\cdot v_{j}) + \sum_{i\neq j}c_{i}(v_{i}\cdot v_{j}) = 0 $$ 带入得到 $$ \sum_{i\neq j}c_{i}=0 $$ 由于对于每个 $ j $ 这个条件都要成立，从而 $ c_{j}=\sum_{i\in[m]}c_{i} $，这意味着所有的 $ c_{i} $ 都相等，因此要么全为 $ 0 $，要么全为 $ 1 $。若全为 $ 0 $，则线性无关；若全为 $ 1 $，显然与 $ \sum_{i\neq j}c_{i}=0 $ 矛盾。
所以说明 $ v_{1},\dots,v_{m} $ 线性无关，从而 $ \text{rank}(v_{1},\dots,v_{m})= m\leq n $（向量的维数为 $ n $，利用秩的基本性质）。
Problem 2
假设有 $ m $ 个俱乐部和 $ n $ 个人，满足以下条件： (i) 每个俱乐部的人数为奇数； (ii) 任意两个俱乐部之间共同拥有的人数为奇数。 证明：$ m \le 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} $。
证：
同样取每个俱乐部对应的向量 $ v_{1},\dots,v_{m}\in \mathbb{F}_{2}^{n} $。取第一个向量 $ v_{1} $，对于所有的 $ i\in[m] $，构造 $$ u_{i} = (v_{i} + v_{1}) \in\mathbb{F}_{2} $$ 特别地，其中 $ u_{1}=v_{1}+v_{1}=\mathbf{0} $。我们考察 $ U=\{ u_{1},\dots,u_{m} \} $。
$ U $ 中任意两个向量满足 $$ \begin{align*} u_{i}\cdot u_{j} & = (v_{i}+v_{1})(v_{j}+v_{1}) \\ & = v_{i}\cdot v_{j} + v_{i}\cdot v_{1} + v_{j}\cdot v_{1} + v_{1}\cdot v_{1} \\ & = 0\pmod 2 \end{align*} $$ 从而 $ U $ 中任意两个向量的内积都是 $ 0 $，包括自己和自己的内积。从而 $ U $ 张成的子空间 $ W=\text{span}\{ u_{2},\dots,u_{m} \} $ 满足 $ W\subseteq W^{\perp} $。
除此之外，这些向量同样和 $ v_{1} $ 正交： $$ u_{i}\cdot v_{1} = (v_{i}+v_{1})\cdot v_{1} = 0 $$ 说明 $ W $ 是 $ n $ 维空间中与 $ v_{1} $ 的正交的子空间，其中 $ v_{1} $ 的正交补空间记为 $ V_{1} $，满足 $ \text{dim}(V_{1})=n-1 $。
利用秩-零度定理，我们知道 $$ \text{dim}(W) + \text{dim}(W^{\perp}) = \text{dim}(V_{1})=n-1 $$ 由于 $ W\subseteq W^{\perp} $，因此 $$ 2\text{dim}(W) \leq \text{dim}(W) + \text{dim}(W^{\perp}) = n-1 $$ 从而 $$ \text{dim}(W) \leq \left\lfloor \dfrac{n-1}{2} \right\rfloor $$ 由于这时 $ \mathbb{F}_{2} $ 上的向量，每个自由维度只有个 $ 2 $ 种可能。所以最多只可能有 $$ m \leq \left| W \right| \leq 2^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor } $$ 个向量。
Problem 3
设 $ A, B \subseteq \mathbb{R}^3 $ 是三维空间中的两个点集。已知 $ A $ 中任意一点到 $ B $ 中任意一点的距离都相等。 证明：$ \min\{|A|, |B|\} \le 2 $ （即 $ A $ 和 $ B $ 中至少有一个集合的元素个数不超过 $ 2 $）。
证：
设 $ A $ 中的点为 $ \{ a_{1},a_{2},\dots, \} $，$ B $ 中的点为 $ \{ b_{1},b_{2},\dots \} $。根据题意，存在一个常数 $ d $ 使得对于任意 $ a\in A,b\in B $，满足 $ \| a-b \|^{2}=d^{2} $。
任取 $ a_{i},a_{j}\in A,b_{k},b_{l}\in B $（两个点不相等），那么 $$ \begin{align*} \| a_{i}-b_{k} \| ^{2} & = \| a_{i} \| ^{2} - 2a_{i}\cdot b_{k} + \| b_{k} \| ^{2} = d^{2} \\ \| a_{j}-b_{k} \| ^{2} & = \| a_{j} \|^{2} - 2a_{j}\cdot b_{k} + \| b_{k} \| ^{2} =d^{2} \end{align*} $$ 两式相减，得到 $$ 2(a_{i}-a_{j})\cdot b_{k} = \| a_{i} \| ^{2} - \| a_{j} \| ^{2} $$ 同理，对于 $ b_{l} $，也有 $$ 2(a_{i}-a_{j})\cdot b_{l} = \| a_{i} \| ^{2} - \| a_{j} \| ^{2} $$ 再次相减，就得到了 $$ (a_{i}-a_{j})(b_{k}-b_{l})=0 $$
这说明 $ A $ 中任意两点构成的向量垂直于 $ B $ 中任意两点构成的向量。不妨设 $ A $ 中任意两点构成的向量组成的空间为 $ V_{A} $，对应 $ B $ 中任意两点之间的向量组成的空间为 $ V_{B} $，那么这说明 $ V_{A}\perp V_{B} $。
由于 $ V_{A} $ 和 $ V_{B} $ 都是 $ \mathbb{R}^{3} $ 的子空间，并且它们正交，说明 $$ \text{dim}(V_{A}) + \text{dim}(V_{B}) \leq 3 $$ 如果 $ \left| A \right|\geq 3 $ 且 $ \left| B \right| \geq 3 $，我们分类讨论。若 $ A $ 中有三个点共线，此时根据简单几何知识，知道 $ B $ 中不可能存在点到这三个点距离相等。
因此 $ A,B $ 中都满足任意三点不共线。此时 $ V_{A} $ 和 $ V_{B} $ 至少都构成了一个平面，从而 $$ \text{dim}(V_{A}) + \text{dim}(V_{B}) \geq 2 + 2 = 4 $$ 矛盾！
因此假设不成立，$ A,B $ 不可能同时拥有 $ 3 $ 个及以上的点，即 $$ \min\{ \left| A \right| ,\left| B \right| \} \leq 2 $$