Exercise 1
证
我们有 $ \det(A^{T})=\det(-A) $，同时又有 $ \det(A^{T})=\det A $ 以及 $ \det(-A)=(-1)^{n}\det A $。
如果 $ n $ 是奇数，那么 $ (-1)^{n}=-1 $，从而得到 $ \det A=-\det A\implies \det A=0 $。如果 $ n $ 是偶数，则无法说明，这个结论必然成立。
Exercise 2
解
我们直接展开计算，就可以得到 $$ \begin{align*} \det & = \begin{vmatrix} b & b^{2} \\ c & c^{2} \end{vmatrix} - a\begin{vmatrix} 1 & b^{2} \\ 1 & c^{2} \end{vmatrix} + a^{2}\begin{vmatrix} 1 & b \\ 1 & c \end{vmatrix} \\ & = (bc^{2}-b^{2}c) - a(c^{2}-b^{2}) + a^{2}(c-b) \\ & = (b-a)(c-a)(c-b) \end{align*} $$
Exercise 3
设矩阵 $ A $ 为 $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{pmatrix} $$
首先矩阵 $ A $ 是一个全为 $ 1 $ 的矩阵，其行列式为 $ 0 $。
我们记所有的奇置换的集合为 $ S_{1} $，所有偶置换的集合为 $ S_{0} $。带入行列式的定义，由于所有元素都是 $ 1 $，因此我们可以得到 $$ \det A = \sum_{\sigma \in S_{0}}1 - \sum_{\sigma \in S_{1}}1 = \left| S_{0} \right| -\left| S_{1} \right| = 0 $$ 从而证明了奇偶置换的数量相同。
Exercise 4
(1)
首先计算 $ \det A = -2 $。接着计算 $ \text{adj}(A) $，根据定义，我们有 $$ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} $$ 从而 $$ A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & - \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} $$ (2)
行列式 $ \det A=13 $。
伴随矩阵 $$ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & 17 \\ -3 & 19 \end{bmatrix} $$ 从而得到 $$ A^{-1} = \begin{bmatrix} -\dfrac{2}{13} & \dfrac{17}{13} \\ -\dfrac{3}{13} & \dfrac{19}{13} \end{bmatrix} $$ (3)
行列式 $ \det A=5 $.
伴随矩阵 $$ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} $$ 从而 $$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\dfrac{3}{5} & \dfrac{1}{5} \end{bmatrix} $$ (4)
行列式 $ \det A=-1-2=-3 $。
伴随矩阵 $$ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{bmatrix} $$ 从而 $$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\ -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} $$
Exercise 5
根据行列式的定义，我们得到 $$ \det(A-\lambda I) = \sum_{\sigma \in\text{Perm}(n)}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} (a_{i,\sigma(i)}-\lambda[i=\sigma(i)]) $$ 从而得到这是一个最高次项为 $ \lambda^{n} $，最高次项系数为 $ (-1)^{n} $ 的关于 $ \lambda $ 的多项式。
Exercise 6
(1)
如果 $ A $ 满秩，那么有 $ \det A\neq 0 $。如果存在特征值 $ \lambda=0 $，说明存在非零向量 $ x $ 满足 $ Ax=0 $，与 $ A $ 满秩矛盾。
(2)
取 $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 此时 $ A $ 满秩但是不可对角化。