Exercise 1
首先计算 $ A $ 的特征值和特征向量。 $$ \det(A-\lambda I) = (-1-\lambda)(-\lambda)-6 = 0 \implies \lambda^{2}+\lambda-6 = 0 $$ 解得 $ \lambda_{1}=2,\lambda_{2}=-3 $。
对于 $ \lambda_{1}=2 $，我们求解 $ (A-2I)x=0 $，特征向量为 $$ x_{1} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ 对于 $ \lambda_{2}=-3 $，我们求解 $ (A+3I)x=0 $，可以取特征向量为 $$ x_{2} = k\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$
对于 $ A^{2} $，我们计算得到 $ \mu_{1}=4,\mu_{2}=9 $。对于每个特征值，带入解出 $$ x_{1} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},x_{2} = k\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Exercise 2
根据定义，对于特征值 $ \lambda $ 和特征向量 $ x_{0} $，我们有 $$ Ax_{0}=\lambda x_{0} $$ 两边同时左乘 $ A $，得到 $$ A^{2}x_{0} = A(\lambda x_{0}) = \lambda(Ax_{0}) = \lambda^{2}x_{0} $$ 从而说明 $ \lambda^{2} $ 是 $ A^{2} $ 的一个特征值，并且对应的特征向量还是 $ x_{0} $。
但是逆命题不一定成立。反例：考虑矩阵 $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 存在特征值 $ \lambda=0 $，对应的特征向量为 $$ x =k\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ 但是矩阵 $$ A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 显然任何非零向量都是 $ A^{2} $ 的特征向量。所以 $ A $ 和 $ A^{2} $ 的特征向量并不相等。
Exercise 3
由于转置不改变一个矩阵的行列式，并且 $ (A-\lambda I)^{T}=A^{T}-\lambda I $，因此 $$ \det(A-\lambda I) = \det(A^{T}-\lambda I) $$ 说明 $ A $ 和 $ A^{T} $ 的特征多项式完全相同，拥有一样的特征值。
但是特征向量则通常不相同。
Exercise 4
首先证明 $ \lambda_{0}\neq 0 $。如果 $ \lambda_{0} = 0 $，那么 $ \det(A-0\cdot I)=\det A=0 $，这与 $ A $ 是可逆矩阵矛盾，说明 $ \lambda_{0} $ 是非零特征值。
根据定义，我们有 $$ Ax = \lambda_{0}x $$ 由于 $ A $ 可逆，因此两侧同乘 $ A^{-1} $，得到 $$ A^{-1}(Ax) = A^{-1}(\lambda_{0}x) \underset{\lambda_{0}\neq 0}{\implies} \dfrac{1}{\lambda_{0}}x = A^{-1}x $$ 从而得到 $ 1 / \lambda_{0} $ 是 $ A^{-1} $ 的一个特征值，并且特征向量相同。
Exercise 6
加法：设 $ u,v\in \mathbb{C}^{n} $，其中 $ u=(u_{1},u_{2},\dots,u_{n}),v=(v_{1},v_{2},\dots,v_{n}) $，那么我们有 $$ u+v=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\dots,u_{n}+v_{n}) $$ 每个分量 $ u_{i}+c_{i} $ 都是复数，从而 $ u+v\in \mathbb{C}^{n} $
标量乘法：$ cv=(cv_{1},cv_{2},\dots,cv_{n}) $，每个分量 $ cv_{i}\in \mathbb{C} $，从而 $ cv\in \mathbb{C}^{n} $。
接着根据复数运算的性质，可以验证由于所有八个向量空间的公理都得到满足，因此 $ \mathbb{C}^n $ 在通常的加法和数乘定义下是一个向量空间。
Exercise 8
为了证明 $ \text{dim}(\mathbb{C}^n) = n $，我们需要找到一个由 $ n $ 个向量组成的基。
考虑 $ \mathbb{C}^n $ 中的标准基向量集合 $ B = \{e_1, e_2, ..., e_n\} $，我们来证明它是一个基。
首先我们需要证明 $ \mathbb{C}^n $ 中的任意向量 $ v $ 都可以表示为 $ B $ 中向量的线性组合，也就是 $ B $ 可以张成 $ \mathbb{C}^{n} $。设 $ v = (v_1, v_2, ..., v_n) $ 是 $ \mathbb{C}^n $ 中的任意一个向量，其中 $ v_i \in \mathbb{C} $。我们可以将 $ v $ 写成 $$ \begin{align*} v & = (v_1, v_2, ..., v_n) \\ & = v_1(1, 0, ..., 0) + v_2(0, 1, ..., 0) + ... + v_n(0, 0, ..., 1) \\ & = v_1e_1 + v_2e_2 + ... + v_ne_n \end{align*} $$ 由于标量 $ v_1, v_2, ..., v_n $ 都是复数，这表明任意向量 $ v $ 都可以表示为 $ B $ 中向量的线性组合。因此，$ B $ 张成 $ \mathbb{C}^n $。
接着我们证明 $ B $ 中的向量线性无关。也就需要证明方程 $ c_1e_1 + c_2e_2 + ... + c_ne_n = 0 $（其中 $ c_i \in \mathbb{C} $，$ 0 $ 是零向量）的唯一解是 $ c_1=c_2=...=c_n=0 $。这个方程可以写成 $$ \begin{align*} & c_1(1, 0, ..., 0) + c_2(0, 1, ..., 0) + ... + c_n(0, 0, ..., 1) = (0, 0, ..., 0) \\ & \implies (c_1, c_2, ..., c_n) = (0, 0, ..., 0) \end{align*} $$ 这直接意味着 $ c_1=0, c_2=0, ..., c_n=0 $。因此，$ V $ 中的向量是线性无关的。
因为集合 $ B $ 既能张成 $ \mathbb{C}^n $ 又是线性无关的，所以 $ B $ 是 $ \mathbb{C}^n $ 的一个基。由于其中包含 $ n $ 个基向量，所以根据维数的定义，$ \text{dim}(\mathbb{C}^n) = n $。
Exercise 9
要成为 $ \mathbb{C}^n $ 的一个子空间，$ \mathbb{R}^n $ 必须满足对向量加法封闭，并且对标量乘法封闭（其中标量来自域 $ \mathbb{C} $）。
对于第二个性质，我们需要检验对于任意 $ v \in \mathbb{R}^n $ 和任意标量 $ c \in \mathbb{C} $，$ cv $ 是否总是在 $ \mathbb{R}^n $ 中。答案是否定的。我们只需举一个反例。
我们取一个非零向量 $ v \in \mathbb{R}^n $，例如 $ v = (1, 0, ..., 0) $，显然 $ v \in \mathbb{R}^n $。我们再取 $ c = i $，那么 $$ cv = i \cdot (1, 0, ..., 0) = (i \cdot 1, i \cdot 0, ..., i \cdot 0) = (i, 0, ..., 0) $$ 由于它的第一个分量 $ i $ 不是一个实数，所以这个向量不属于 $ \mathbb{R}^n $。
所以由于 $ \mathbb{R}^n $ 对与复数标量的乘法不是封闭的，它不满足子空间的定义，$ \mathbb{R}^n $ 不是 $ \mathbb{C}^n $ 的子空间。
Exercise 10
($ \implies $) 假设 $ v_1, ..., v_m $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 中线性无关，证明它们在 $ \mathbb{C}^n $ 中也线性无关。
在 $ \mathbb{R}^n $ 中线性无关意味着，对于方程 $$ c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_mv_m = 0 $$ 唯一的实数解是 $ c_1=c_2=...=c_m=0 $。
现在，我们考虑在 $ \mathbb{C}^n $ 中的情况，即对于方程 $$ z_1v_1 + z_2v_2 + ... + z_mv_m = 0 $$ 其中 $ z_i \in \mathbb{C} $ 是复数标量。
我们可以将每个复数 $ z_i $ 写成实部和虚部的形式：$ z_i = a_i + i b_i $，其中 $ a_i, b_i \in \mathbb{R} $。代入方程中得到 $$ (a_1+ib_1)v_1 + (a_2+ib_2)v_2 + ... + (a_m+ib_m)v_m = 0 $$ 由于 $ v_i $ 是实向量，我们可以将方程的实部和虚部分开 $$ (a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_mv_m) + i(b_1v_1 + b_2v_2 + ... + b_mv_m) = 0 $$ 一个复向量等于零向量，当且仅当它的实部向量和虚部向量都为零向量。因此我们得到两个独立的方程 $$ \begin{cases} a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_mv_m = 0 \\ b_1v_1 + b_2v_2 + ... + b_mv_m = 0 \end{cases} $$ 因为 $ v_1, ..., v_m $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 中是线性无关的，且 $ a_i $ 和 $ b_i $ 都是实数，所以上述两个方程的唯一解是 $$ a_1=a_2=...=a_m=0,\quad b_1=b_2=...=b_m=0 $$ 这意味着 $ z_i = a_i + ib_i = 0 $ 对所有的 $ i $ 都成立。
因此，复数方程的唯一解是 $ z_1=z_2=...=z_m=0 $。这证明了 $ v_1, ..., v_m $ 在 $ \mathbb{C}^n $ 中是线性无关的。
($ \impliedby $) 假设 $ v_1, ..., v_m $ 在 $ \mathbb{C}^n $ 中线性无关，证明它们在 $ \mathbb{R}^n $ 中也线性无关。
在 $ \mathbb{C}^n $ 中线性无关意味着，对于方程 $$ z_1v_1 + z_2v_2 + ... + z_mv_m = 0 $$ 唯一的复数解是 $ z_1=z_2=...=z_m=0 $。
现在，我们考虑在 $ \mathbb{R}^n $ 中的情况，即对于方程 $$ c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_mv_m = 0 $$ 其中 $ c_i \in \mathbb{R} $ 是实数标量。
由于任何实数都是一个复数，这个方程可以看作是复数标量方程的一个特例，因此其唯一解也必然是所有标量都为零。因此 $ c_1=c_2=...=c_m=0 $。这证明了 $ v_1, ..., v_m $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 中是线性无关的。
推论
我们接着证明在 $ \mathbb{R} $ 和 $ \mathbb{C} $ 上的秩是相同的。
设 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的实矩阵。它的列向量 $ v_1, ..., v_n $ 都是 $ \mathbb{R}^m $ 中的向量。
- $ A $ 在域 $ \mathbb{R} $ 上的秩，$ \text{rank}_{\mathbb{R}}(A) $，是这组列向量在 $ \mathbb{R}^m $ 中（使用实数标量）的最大线性无关子集的数量。
- $ A $ 在域 $ \mathbb{C} $ 上的秩，$ \text{rank}_{\mathbb{C}}(A) $，是这组列向量在 $ \mathbb{C}^m $ 中（使用复数标量）的最大线性无关子集的数量。
根据我们刚刚的证明，一个实向量的集合在 $ \mathbb{R} $ 上是线性无关的，当且仅当它在 $ \mathbb{C} $ 上是线性无关的。这意味着，如果我们从 $ A $ 的列向量中选取一个子集，这个子集在 $ \mathbb{R} $ 上是线性无关的，那么它在 $ \mathbb{C} $ 上也一定是线性无关的，反之亦然。
因此，能够选出的最大线性无关子集的大小，无论我们是在 $ \mathbb{R} $ 上还是在 $ \mathbb{C} $ 上考虑，都是完全相同的。所以$ \text{rank}_{\mathbb{R}}(A) = \text{rank}_{\mathbb{C}}(A) $。