Exercise 1
(1)
对于任意标量 $ c $ 和向量 $ x,y\in U $，都有 $$ \begin{align*} TS(cx+y) & = T(S(cx+y)) \\ & = T(cS(x)+S(y)) \\ & = cT(S(x)) + T(S(y)) \\ & = cTS(x) + TS(y) \end{align*} $$ 从而证明了这是一个线性变换。
(2)
设 $ U,V,W $ 的基为 $$ \bar{u} = \{ u_{1},\dots,u_{p} \},\bar{v}=\{ v_{1},\dots,v_{n} \},\bar{w}=\{ w_{1},\dots,w_{m} \} $$ 根据线性变换矩阵的定义，有 $$ S(u_{i}) = \sum_{k=1}^{n} (A_{S})_{k,i}v_{k},\quad T(v_{i})=\sum_{k=1}^{m} (A_{T})_{k,i}w_{k} $$ 计算 $ TS(u_{i}) $ 并观察系数 $$ \begin{align*} TS(u_{j}) & = T(S(u_{j})) \\ & = T\left( \sum_{k=1}^{n} (A_{S})_{k,j}v_{k} \right) \\ & = \sum_{k=1}^{n} (A_{S})_{k,j}T(v_{k}) \\ & = \sum_{k=1}^{n} (A_{S})_{k,j}\left( \sum_{i=1}^{m} (A_{T})_{i,k}w_{i} \right) \\ & = \sum_{i=1}^{m} \left( \sum_{k=1}^{n} (A_{T})_{i,k}(A_{S})_{k,j} \right)w_{i} \\ & = \sum_{i=1}^{m} (A_{T}A_{S})_{i,j}w_{i} \end{align*} $$ 再结合 $ A_{TS} $ 的定义就证明了 $$ A_{TS}=A_{T}A_{S} $$
Exercise 2
(1)
分别验证满足线性性 $$ \begin{align*} (T+T')(cx+y) & =T(cx+y)+T'(cx+y) \\ & = T(cx)+T(y)+T'(cx)+T'(y) \\ & = cT(x)+T(y)+cT'(x)+T'(y) \\ & =c(T+T')(x)+(T+T')(y) \end{align*} $$ 以及 $$ \begin{align*} (cT)(dx+y) & = c(T(dx+y)) \\ & = c(T(dx)+T(y)) \\ & = c(dT(x)+T(y)) \\ & = d(cT)(x) + (cT)(y) \end{align*} $$ 从而对线性运算封闭，都是线性变换。
(2)
要证明 $ T(V,W) $ 构成向量空间，需验证其满足封闭性（已在 (1) 中得证）及 8 条公理。由于运算是逐点定义在目标空间 $ W $ 上的，而 $ W $ 本身是向量空间，因此结合律、交换律、分配律等性质自然继承。
我们需要证明零元和逆元的存在：
零向量：存在 $ T_0 \in T(V,W) $，定义为对于任意 $ v \in V $，$ T_0(v) = \vec{0}_W $。显然 $ T + T_0 = T $。
加法逆元：对于任意 $ T $，定义 $ (-T)(v) = -(T(v)) $。显然 $ T + (-T) = T_0 $。
综上，结合 (1) 中的封闭性，$ T(V,W) $ 构成向量空间。
(3)
由线性变换的基本定理，线性变换 $ T $ 由其在基向量上的作用唯一确定。 设 $ V $ 的基为 $ v_1, \dots, v_n $， $ W $ 的基为 $ w_1, \dots, w_m $。 对于每一个 $ v_j $，我们可以任意指定其像 $ T(v_j) \in W $。 由于 $ W $ 是 $ m $ 维的，选择一个 $ T(v_j) $ 相当于选择了 $ m $ 个坐标标量。 共有 $ n $ 个基向量 $ v_j $ 需要确定，且它们的选择是独立的。 因此，总的自由度（即维数）为 $$ \text{dim}(T(V,W))=m\times n $$ (4)
定义映射 $ \Phi: T(V,W) \rightarrow M_{m\times n}(\mathbb{R}) $ 为 $ \Phi(T) = A_T $。设 $ T, S \in T(V,W) $，$ c \in \mathbb{R} $。
加法：考察矩阵 $ A_{T+S} $ 的第 $ j $ 列，其定义为 $ (T+S)(v_j) $ 在 $ W $ 基下的坐标 $$ [(T+S)(v_j)]_{\overline{w}} = [T(v_j) + S(v_j)]_{\overline{w}} = [T(v_j)]_{\overline{w}} + [S(v_j)]_{\overline{w}} $$ 这表明 $ A_{T+S} $ 的每一列都是 $ A_T $ 和 $ A_S $ 对应列的和。根据矩阵加法定义 $$ A_{T+S} = A_T + A_S \implies \Phi(T+S) = \Phi(T) + \Phi(S) $$
数乘：考察矩阵 $ A_{cT} $ 的第 $ j $ 列： $$ [(cT)(v_j)]_{\overline{w}} = [c \cdot T(v_j)]_{\overline{w}} = c \cdot [T(v_j)]_{\overline{w}} $$ 这表明 $ A_{cT} $ 的每一列都是 $ A_T $ 对应列的 $ c $ 倍。根据矩阵数乘定义： $$ A_{cT} = c A_T \implies \Phi(cT) = c \Phi(T) $$ 故该映射为线性变换。
Exercise 3
根据过渡矩阵定义，新基 $ v' $ 是旧基 $ v $ 的线性组合：$ v'_j = \sum_{i=1}^n M_{ij} v_i $。 对 $ v'_j $ 施加 $ T $，就有 $$ T(v'_j) = T(\sum_{i} M_{ij} v_i) = \sum_{i} M_{ij} T(v_i) $$ 这正是矩阵乘法 $ [T(v_1)\dots T(v_n)] \times M_{j} $。将所有结果合并即可，证毕。
Exercise 4
我们需要计算 $ T_{id} $ 作用在定义域基向量 $ v'_j $ 上，并表示为值域基 $ v $ 的坐标。 $$ T_{id}(v'_j) = v'_j $$ 因为 $ M $ 是 $ v \to v' $ 的过渡矩阵，意味着 $ v'_j = \sum_{i} M_{ij} v_i $。
所以 $ v'_j $ 在基 $ v $ 下的坐标正是 $ M $ 的第 $ j $ 列。因此该矩阵就是 $ M $。
Exercise 5
定义矩阵 $ V = [v_1, v_2, v_3] $ 和 $ V' = [v'_1, v'_2, v'_3] $。
过渡矩阵 $ M $ 满足 $ V' = VM $（即 $ v'_j $ 在 $ v $ 下的坐标），解得 $ M = V^{-1}V' $。
经过高斯消元得到
$$ M = \begin{pmatrix} -2 & -1.5 & 1.5 \\ 1 & 1.5 & 1.5 \\ 1 & 0.5 & -2.5 \end{pmatrix} $$计算各情形下的矩阵 $ A_T $。
Case 1：基 $ \overline{v} \to \overline{v} $
第 $ j $ 列为 $ [T(v_j)]_{\overline{v}} $。$ [T(v_j)]_{\overline{v}} = [v'_j]_{\overline{v}} $。这正是 $ M $ 的定义。
$$ A_1 = M = \begin{pmatrix} -2 & -1.5 & 1.5 \\ 1 & 1.5 & 1.5 \\ 1 & 0.5 & -2.5 \end{pmatrix} $$Case 2： 基 $ \overline{v} \to \overline{v}' $
第 $ j $ 列为 $ [T(v_j)]_{\overline{v}'} $。$ [T(v_j)]_{\overline{v}'} = [v'_j]_{\overline{v}'} $。向量在自身基下的坐标为标准单位向量 $ e_j $。 $$ A_2 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Case 3： 基 $ \overline{v}' \to \overline{v} $
第 $ j $ 列为 $ [T(v'_j)]_{\overline{v}} $。由于 $ T(v_k)=v'_k $，且 $ T $ 是线性的，则 $ T $ 将 $ v $ 空间的向量映射为 $ v' $ 空间中具有相同系数的向量。 $$ [T(v'_j)]_{\overline{v}} = [T(\sum_k M_{kj}v_k)]_{\overline{v}} = [\sum_k M_{kj}T(v_k)]_{\overline{v}} = [\sum_k M_{kj}v'_k]_{\overline{v}} $$ 这相当于用 $ M $ 对 $ M $ 的列再做一次线性组合，即 $ A_3 = M \cdot M = M^2 $。
$$ A_3 = M^2 = \begin{pmatrix} 4 & 1.5 & -9 \\ 1 & 1.5 & 0 \\ -4 & -2 & 8.5 \end{pmatrix} $$Case 4： 基 $ \overline{v}' \to \overline{v}' $
第 $ j $ 列为 $ [T(v'_j)]_{\overline{v}'} $。$ [T(v'_j)]_{\overline{v}'} = [\sum_k M_{kj} v'_k]_{\overline{v}'} $。其坐标即为 $ M $ 的第 $ j $ 列。
$$ A_4 = M = \begin{pmatrix} -2 & -1.5 & 1.5 \\ 1 & 1.5 & 1.5 \\ 1 & 0.5 & -2.5 \end{pmatrix} $$Exercise 6
设 $ x $ 为 $ V $ 中向量的坐标，$ y $ 为 $ W $ 中向量的坐标。
对于 $ x $，变换后的坐标 $ x' $ 满足 $ x=Mx' $。对于 $ y $，变换后的坐标 $ y' $ 满足 $ y=Ny'\implies y'=N^{-1}y $。根据线性变换关系，有 $$ y=A_{1}x,y'=A_{2}x' $$ 带入就得到了 $$ y'=N^{-1}y=N^{-1}(A_{1}x)=N^{-1}A_{1}Mx' $$ 从而证明了 $$ A_{2}=N^{-1}A_{1}M $$