Exercise 1

根据分块对角矩阵的性质，秩等于对角线上各个子块的秩之和，因此 $$ \text{rank}(AB)+n = \text{rank}\left(\begin{bmatrix} AB & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}\right) $$ 接着由于初等列变换不改变矩阵的秩，将第二列右乘 $ B $ 加到第一列得到 $$ \text{rank}\left(\begin{bmatrix} AB & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}\right) = \text{rank}\left(\begin{bmatrix} AB & 0 \\ B & I \end{bmatrix}\right) $$ 同样由于初等行变换也不改变矩阵的秩，将第二行左乘 $ A $ 再和第一行相减，得到 $$ \text{rank}\left(\begin{bmatrix} AB & 0 \\ B & I \end{bmatrix}\right) = \text{rank}\left(\begin{bmatrix} 0 & -A \\ B & I \end{bmatrix}\right) $$ 交换上下两行，得到 $$ \text{rank}\left(\begin{bmatrix} 0 & -A \\ B & I \end{bmatrix}\right) = \text{rank}\left(\begin{bmatrix} B & I \\ 0 & -A \end{bmatrix}\right) $$ 第二行乘以 $ -1 $ 就得到了 $$ \text{rank}\left(\begin{bmatrix} B & I \\ 0 & -A \end{bmatrix}\right) = \text{rank}\left(\begin{bmatrix} B & -I \\ 0 & A \end{bmatrix}\right) $$ 再根据上三角分块矩阵的性质，就有 $$ \text{rank}\left(\begin{bmatrix} B & -I \\ 0 & A \end{bmatrix}\right) \geq \text{rank}(A) + \text{rank}(B) $$

Exercise 2

设 $ \dim(U) = n $, $ \dim(V) = m $, $ \dim(W) = p $。 对应矩阵为 $ A $ (代表 $ T $) 和 $ B $ (代表 $ S $)。那么我们有 $$ \text{rank}(AB) \ge \text{rank}(A) + \text{rank}(B) - m $$ 对于 $ S $，有 $ \text{rank}(B)=n-\text{dim}(\text{Ker}(S)) $。对于 $ T $，有 $ \text{rank}(A)=m-\text{dim}(\text{Ker}(T)) $。对于 $ TS $，这是一个 $ U\to W $ 的映射，对应矩阵为 $ AB $，那么 $ \text{rank}(AB)=n-\text{dim}(\text{Ker}(TS)) $。带入就得到了 $$ n-\text{dim}(\text{Ker}(TS)) \geq n - \text{dim}(\text{Ker}(S)) + m - \text{dim}(\text{Ker}(T)) - m $$ 化简就得到了 $$ \text{dim}(\text{Ker}(S)) + \text{dim}(\text{Ker}(T)) \leq \text{dim}(\text{Ker}(TS)) $$

Exercise 3

(1)

设线性变换 $ \phi: W \to \mathbb{R}^m $ 为关于基 $ \bar{w} $ 的双射。由线性变换的性质可知，像空间 $ \text{Im}(T) $ 由 $ V $ 中基向量的像 $ \{T(v_1), \dots, T(v_n)\} $ 生成；而根据矩阵表示的定义，$ A_T $ 的列空间 $ \text{Col}(A_T) $ 正是由这些像对应的坐标向量 $ \{\phi(T(v_1)), \dots, \phi(T(v_n))\} $ 生成。

由于 $ \phi $ 是线性同构，它将由一组向量张成的子空间 $ \text{Im}(T) $ 双射地映射为由其坐标向量张成的子空间 $ \text{Col}(A_T) $，且在此过程中保持维数不变，即 $$ \dim(\text{Im}(T)) = \dim(\phi(\text{Im}(T))) = \dim(\text{Col}(A_T)) $$ 结合矩阵秩的定义 $ \text{rank}(A_T) = \dim(\text{Col}(A_T)) $，即得 $ \dim(\text{Im}(T)) = \text{rank}(A_T) $。

(2)

根据秩-零化度定理，有 $$ \text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Ker}(T)) + \text{dim}(\mathrm{Im}(T)) $$ 如果 $ T $ 是单射，那么 $ \text{Ker}(T)=\{ 0 \} $，从而 $ \text{dim}(\text{Ker}(T))=0 $。带入就得到了 $$ \text{dim(V)} = \text{dim}(\mathrm{Im}(T)) = \text{rank}(A_{T}) $$ 如果 $ T $ 是满射，那么 $ \mathrm{Im}(T)=W $，从而 $ \text{dim}(\mathrm{Im}(T))=\text{dim}(W) $，带入 $ (1) $ 就得到了 $$ \text{dim}(W) = \text{rank}(A_{T}) $$

Exercise 4

设泛函 $ L\in V' $ 为 $ L:V\to \mathbb{F} $，其中 $ \mathbb{F} $ 是标量域。由于 $ \text{dim}(\mathbb{F})=1 $，并且 $ \mathrm{Im}(L)\leq\text{dim}(\mathbb{F}) $，那么就有 $ \text{dim}(\mathrm{Im}(L))=0 $ 或者 $ \text{dim}(\mathrm{Im}(L))=1 $。

如果 $ \text{dim}(\mathrm{Im}(L))=0 $，那么也就是只有 $ \{0\} $。这时 $ \text{Im}(L) = \{0\} $，意味着 $ L $ 是零映射。

如果 $ \text{dim}(\mathrm{Im}(L))=1 $，也就是 $ \mathbb{F} $ 本身。这时 $ \text{Im}(L) = \mathbb{F} $，意味着 $ L $ 是满射。