Exercise 1
根据对偶变换的定义 $$ (T'(L))(v) = L(T(v)) $$ 带入 $ T(v)=v $，就有 $$ (T'(L))(v) = L(v) $$ 由于这对所有 $ v \in V $ 均成立，从而 $ T'(L) $ 和 $ L $ 是一个函数，因为输入输出完全相同，因此 $ T'(L)=L $，是恒等变换。
Exercise 2
先证充分性，如果 $ T=\mathbf{0} $，那么对于任意 $ v \in V $，都有 $ T(v)=\vec{0} $。根据定义 $$ (T'(L))(v) = L(T(v)) = 0 $$ 说明 $ T'(L) $ 是零泛函，从而 $ T'=\mathbf{0} $。
如果 $ T'=\mathbf{0} $，那么对于任意 $ L\in W' $，$ T'(L) $ 是 $ V $ 上的零泛函。带入定义就有 $$ L(T(v)) =(T'(L))(v) = 0 $$ 由于对所有的线性泛函均成立，那么可以证明 $ T(v)=\vec{0} $。否则将 $ T(v)=w $ 扩充为 $ W $ 的一组基，定义 $ L $ 只在 $ w $ 上为 $ 1 $，否则为 $ 0 $，这样就构造出了一个不符合的 $ L $，因此矛盾。从而 $ T(v)=\vec{0} $ 对所有 $ v $ 均成立，也就有 $ T=\mathbf{0} $。
Exercise 3
(1)
对于任意 $ L\in W' $ 和 $ v\in V $，有 $$ \begin{align*} ((S+T)'(L))(v) & = L((S+T)(v)) \\ & = L(S(v) + T(v)) \\ & = L(S(v)) + L(T(v)) \\ & = (S'(L)(v)) + (T'(L))(v) \\ & = ((S'+T')(L))(v) \end{align*} $$ (2) $$ \begin{align*} ((cT)'(L))(v) & = L((cT)(v)) \\ & = L(c\cdot T(v)) \\ & = c\cdot L(T(v)) \\ & = c\cdot(T'(L))(v) \\ & = (cT'(L))(v) \end{align*} $$ (3)
设 $ L\in W' $ 和 $ u\in U $，有 $$ \begin{align*} ((S'T')(L))(u) & = (S'(T'(L)))(u) \\ & = (T'(L))(S(u)) \\ & = L(T(S(u))) \\ & = L((TS)(u)) \\ & = ((TS)'(L))(u) \end{align*} $$
Exercise 4
考虑采用 $ (\text{ii}) $ 中的思路。
构造 $ V''=(V')' $ 为 $ V' $ 的对偶空间。定义映射 $ \Phi:V\to V'' $，对于任意 $ v\in V $，$ \Phi(v) $ 是 $ V' $ 上的一个泛函，定义为 $$ \forall L\in V',\quad (\Phi(v))(L) = L(v) $$ 由于对于任意 $ u,v\in V $ 和标量 $ c\in \mathbb{F} $，以及任意 $ L\in V' $，有 $$ \begin{align*} \Phi(cu+v)(L) & = L(cu+v) \\ & = cL(u)+L(v) \\ & = c[\Phi(u)(L)] + \Phi(v)(L) \\ & = (c\Phi(u)+\Phi(v))(L) \end{align*} $$ 从而 $ \Phi $ 是一个线性变换。
接着证明 $ \Phi $ 是一个双射。假设 $ \Phi(v)=\mathbf{0}_{V''} $，为 $ V' $ 上的零泛函，那么对于所有 $ L\in V' $ 都有 $ L(v)=0 $，从而必然有 $ v=\mathbf{0}_{V} $，否则取 $ V' $ 的一组基即可推出矛盾。因此 $ \text{Ker}(\Phi)=\{ \mathbf{0}_{V} \} $，$ \Phi $ 是一个单射。并且由于空间是有限维的，而且 $ \text{dim}(V'')=\text{dim}(V')=\text{dim}(V)=n $，一个映射前后维数相同的单射必然是一个双射。
综上证明了 $ \Phi $ 是一个可逆线性变换。
我们已知 $ \{ L_{1},\dots,L_{n} \} $ 是 $ V' $ 的一组基。那么根据对偶基的存在性，$ V'' $ 中存在唯一的一组基 $ \{ \phi_{1},\dots,\phi_{n} \} $ 满足 $$ \phi_{i}(L_{j}) = \mathbb{I}[i=j],\quad (1\leq i,j \leq n) $$ 已知 $ \Phi $ 的逆映射 $ \Phi ^{-1} $ 存在，那么定义 $$ v_{i} = \Phi ^{-1}(\phi_{i}),\quad i \in[n] $$ 由于 $ \Phi $ 是线性双射，从而保持了基的性质，也就有 $ \{ v_{1},\dots,v_{n} \} $ 仍然是 $ V $ 的一组基。
我们接着验证 $ L_{i}(v_{j})=\mathbb{I}[i=j] $ 即可。根据定义 $$ \Phi(v_{i})(L_{j}) = L_{j}(v_{i}) = \phi_{i}(L_{j}) = \mathbb{I}[i=j] $$ 证毕。