Exercise 2
根据定义，对于任意 $ \phi \in V' $，有 $$ T_{\text{incl}}'(\phi) = \phi \circ T_{\text{incl}} $$ 由于 $ T_{\text{incl}} $ 是包含映射，因此 $ T_{\text{incl}}' $ 实际上将 $ \phi $ 的定义域限制在了 $ U $ 上，也就是 $ T_{\text{incl}}'(\phi)=\phi|_{U} $，因此 $ \mathrm{Im}(T_{\text{incl}}') $ 由所有形式为 $ \phi|_{U} $ 的线性泛函组成，从而 $ \mathrm{Im}(T_{\text{incl}}')\subseteq U' $。
证明满射。即证对于任意 $ \psi \in U' $，都存在 $ \phi \in V' $ 使得 $ T_{\text{incl}}'(\phi)=\psi $。设 $ \{ u_{1},\dots,u_{m} \} $ 是 $ U $ 的一组基，将它扩充为 $ V $ 的一组基 $ \{ u_{1},\dots,u_{m},v_{m+1},\dots,v_{n} \} $。那么对于给定的 $ \psi \in U' $，在 $ V $ 的基上定义 $ \phi \in V' $ 满足 $$ \begin{cases} \phi(u_{i}) = \psi(u_{i}), \\ \phi(v_{j}) = 0 \end{cases} $$ 根据线性扩展定理，$ \phi $ 在 $ V $ 上唯一确定。从而对于任意 $ u \in U $，$ \phi(u) = \psi(u) $，即 $ \phi|_U = \psi $。因此就有 $ U'\subseteq \mathrm{Im}(T_{\text{incl}}') $。
综上就证明了 $$ \mathrm{Im}(T_{\text{incl}}') = U' $$
Exercise 3
首先验证 $ \{ L_{m+1},\dots,L_{n} \}\subseteq U^{0} $。对偶基满足定义 $ L_{i}(v_{j})=\delta_{ij} $，对于任意 $ k\in \{ m+1,\dots,n \} $ 和任意 $ u\in U $，将 $ u $ 写成 $ u=\sum_{j=1}^{m}c_{j}v_{j} $。那么 $$ L_{k}(u) = L_{k}\left( \sum_{j=1}^{m} c_{j}v_{j} \right) = \sum_{j=1}^{m} c_{j}L_{k}(v_{j}) $$ 由于 $ k>m $ 并且 $ j< m $，因此 $ L_{k}(u)=0 $，从而 $ L_{k}\in U^{0} $。
由于 $ \{ L_{m+1},\dots,L_{n} \} $ 是对偶基 $ \{ L_{1},\dots,L_{n} \} $ 的子集，所以线性无关。
同时任取 $ \phi \in U^{0} $，由于 $ \{ L_{1},\dots,L_{n} \} $ 是 $ V' $ 的基，因此 $ \phi $ 可以唯一地表示为 $ \phi=\sum_{i=1}^{n}a_{i}L_{i} $。利用对偶基的性质，$ a_{i}=\phi(v_{i}) $。由于 $ \phi \in U^{0} $，所以对于 $ i\in[m] $，都有 $ a_{i}=0 $。因此 $ \phi=\sum_{i=m+1}^{n}a_{i}L_{i} $，这说明 $ U^{0} $ 中任意元素都可以由 $ \{ L_{m+1},\dots,L_{n} \} $ 线性表示。
综上，$ \{ L_{m+1},\dots,L_{n} \} $ 是 $ U^{0} $ 的一组基，这也给出了 Lemma 1 的证明。
Exercise 4
假设 $ A = uv^T $，其中 $ u \neq 0, v \neq 0 $。
必要性：矩阵 $ A $ 的第 $ j $ 列可以表示为 $ A_j = u v_j $（其中 $ v_j $ 是 $ v $ 的第 $ j $ 个分量）。这意味着 $ A $ 的每一列都是向量 $ u $ 的标量倍数。因为 $ v \neq 0 $，至少存在一个 $ j $ 使得 $ v_j \neq 0 $，故 $ A $ 至少有一列非零，即 $ A \neq 0 $。列空间 $ \text{Col}(A) = \text{span}(\{v_1 u, \dots, v_n u\}) = \text{span}(\{u\}) $。由于 $ u \neq 0 $，故 $ \text{dim}(\text{Col}(A)) = 1 $。即 $ \text{rank}(A) = 1 $。
充分性：假设 $ \text{rank}(A) = 1 $，这意味着列空间 $ \text{Col}(A) $ 的维数为 $ 1 $。取 $ \text{Col}(A) $ 的一组基，记为向量 $ u \in \mathbb{R}^m $，显然 $ u \neq 0 $。$ A $ 的每一列 $ C_1, \dots, C_n $ 都在 $ \text{Col}(A) $ 中，因此每一列都是 $ u $ 的倍数。 即存在标量 $ k_1, \dots, k_n $ 使得 $ C_j = k_j u $。定义向量 $ v = [k_1, k_2, \dots, k_n]^T \in \mathbb{R}^n $，由于 $ \text{rank}(A) \neq 0 $，至少有一列不为零向量，因此至少有一个 $ k_j \neq 0 $，即 $ v \neq 0 $。由矩阵乘法定义，$ A $ 的第 $ j $ 列为 $ u v_j $，即 $ A = uv^T $。