Exercise 1
(1)
利用内积的双线性性质，对于任意 $ u \in V $，有 $ \langle u, 0 \rangle = \langle u, 0 + 0 \rangle = \langle u, 0 \rangle + \langle u, 0 \rangle $，即可得到 $ \langle u, 0 \rangle = 0 $。
(2)
若对于所有 $ u \in V $ 都有 $ \langle u, v \rangle = 0 $，那么我们可以取特例 $ u = v $，此时有 $ \langle v, v \rangle = 0 $。根据内积的正定性公理，$ \langle v, v \rangle = 0 $ 当且仅当 $ v = 0 $。
(3)
若对于所有 $ w \in V $ 都有 $ \langle u, w \rangle = \langle v, w \rangle $，则移项可得 $ \langle u, w \rangle - \langle v, w \rangle = 0 $。利用线性性质合并，得 $ \langle u - v, w \rangle = 0 $ 对任意 $ w $ 成立。根据上一小问 $ (2) $ 的结论，令新的向量为 $ u-v $，则必有 $ u - v = 0 $，即 $ u = v $。
Exercise 2
首先若 $ u $ 和 $ v $ 线性相关，则不妨设 $ u = kv $（若 $ v=0 $ 显然成立），代入计算左边 $ =\langle kv, v \rangle^2 = k^2\langle v, v \rangle^2 $，右边 $ =\langle kv, kv \rangle \langle v, v \rangle = k^2\langle v, v \rangle^2 $，等式成立。
反之，若等式成立且 $ v \neq 0 $，构造向量 $ z = u - \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v $，计算其模长平方 $ ||z||^2 = \langle z, z \rangle $。展开化简可得 $ ||z||^2 = \langle u, u \rangle - \frac{\langle u, v \rangle^2}{\langle v, v \rangle} $。若柯西不等式取等号，则分子 $ \langle u, u \rangle \langle v, v \rangle - \langle u, v \rangle^2 = 0 $，即 $ ||z||^2 = 0 $。由正定性知 $ z=0 $，故 $ u = \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} v $，即 $ u $ 是 $ v $ 的标量倍数，两者线性相关。
Exercise 3
该形式是 $ \mathbb{R}^2 $ 上的内积。
对称性：$ \langle x, y \rangle = x_1 y_1 - x_2 y_1 - x_1 y_2 + 3 x_2 y_2 $ 与交换 $ x, y $ 后的表达式完全一致，满足对称性。
双线性：表达式是关于 $ x_1, x_2 $ 和 $ y_1, y_2 $ 的线性组合，显然满足线性性质。
正定性：将内积写成矩阵形式 $ \langle x, y \rangle = x^T A y $，其中 $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $。计算 $ A $ 的顺序主子式：$ D_1 = 1 > 0 $，$ D_2 = 1 \times 3 - (-1) \times (-1) = 2 > 0 $。可知 $ A $ 是正定矩阵，故对任意 $ x \neq 0 $，$ \langle x, x \rangle > 0 $。因此，这是一个内积。
Exercise 4
首先证明 $ C[0,1] $ 是向量空间。这遵循连续函数的性质：两个连续函数的和仍是连续函数（加法封闭），连续函数与常数的乘积仍是连续函数（数乘封闭）。此外，零函数 $ f(x)=0 $ 是连续的（加法单位元），且每个函数 $ f $ 都有加法逆元 $ -f $。结合加法和数乘的结合律、分配律等显然成立的性质，可知 $ C[0,1] $ 构成实数域上的向量空间。
其次，证明 $ \langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx $ 是内积。
- 对称性：由乘法交换律，$ f(x)g(x) = g(x)f(x) $，故积分相等。
- 线性：积分运算本身具有线性性质，$ \int (af+h)g = a\int fg + \int hg $。
- 正定性：$ \langle f, f \rangle = \int_0^1 (f(x))^2 dx \ge 0 $。若积分为 $ 0 $，由于 $ (f(x))^2 \ge 0 $ 且 $ f $ 连续，则 $ f(x) $ 必须恒等于 $ 0 $。
再次，证明 $ f_1, f_2, f_3 $ 线性无关。设 $ c_1(1) + c_2(x-1) + c_3(x-1)^2 = 0 $ 对所有 $ x \in [0,1] $ 成立。取 $ x=1 $，得 $ c_1 = 0 $。对等式求导得 $ c_2 + 2c_3(x-1) = 0 $，再取 $ x=1 $ 得 $ c_2 = 0 $。再次求导得 $ 2c_3 = 0 \implies c_3 = 0 $。因为只有零解，所以三者线性无关。
最后，使用 GS 正交化寻找标准正交基。令 $ w_1=1, w_2=x-1, w_3=(x-1)^2 $。
- $ v_1 = w_1 = 1 $。归一化：$ ||v_1||^2 = \int_0^1 1^2 dx = 1 $，故 $ e_1 = 1 $。
- $ \langle w_2, e_1 \rangle = \int_0^1 (x-1) dx = -1/2 $。令 $ v_2 = w_2 - \langle w_2, e_1 \rangle e_1 = (x-1) - (-1/2) = x - 0.5 $。计算范数 $ ||v_2||^2 = \int_0^1 (x-0.5)^2 dx = [\frac{1}{3}(x-0.5)^3]_0^1 = \frac{1}{12} $。归一化得 $ e_2 = \sqrt{12}(x - 0.5) $。
- $ v_3 = w_3 - \langle w_3, e_1 \rangle e_1 - \langle w_3, e_2 \rangle e_2 $。计算内积 $ \langle w_3, e_1 \rangle = \int_0^1 (x-1)^2 dx = 1/3 $；$ \langle w_3, e_2 \rangle = \sqrt{12} \int_0^1 (x-1)^2(x-0.5) dx = -1/\sqrt{12} $。代入得到 $ v_3 = (x-1)^2 - \frac{1}{3} - (-\frac{1}{\sqrt{12}})\sqrt{12}(x-0.5) = x^2 - x + \frac{1}{6} $。计算范数 $ ||v_3||^2 = \int_0^1 (x^2-x+\frac{1}{6})^2 dx = \frac{1}{180} $。归一化得 $ e_3 = \sqrt{180}(x^2 - x + \frac{1}{6}) $。
最终的标准正交基为 $ \{1, \sqrt{12}(x-\frac{1}{2}), \sqrt{180}(x^2-x+\frac{1}{6})\} $。