Exercise 1

先证明行阶梯矩阵中主元列的唯一性。由于初等行变换保持了列向量之间的线性关系，因此如果矩阵 $ A $ 的第 $ j $ 列是前 $ j-1 $ 列的线性组合，初等行变换之后也仍然成立。并且一个列为主元列，当且仅当它不能被前面的列线性表示，所以 $ A_{1} $ 和 $ A_{2} $ 中的主元列位置完全相同。

接着证明简化行阶梯矩阵的唯一性。对于每个主元列 $ j_{k} $，必须化简成单位向量 $ e_{k} $，满足主元为 $ 1 $，其余元素为 $ 0 $，具有唯一性；对于非主元列，可以表示为前面的列的线性组合，所以为 $ 0 $，也具有唯一性。因此简化行阶梯矩阵具有唯一性。

Exercise 2

(1)

我们通过选择 $ W=\text{span}\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \} $ 中的一个子集，可以构造出 $ W $ 的一个基。我们依次考虑 $ i=1,2,\dots,n $，如果 $ i=1 $ 或者 $ v_{i} $ 不是前 $ i-1 $ 个向量的线性组合，就选择 $ v_{i} $，这样最终就得到了 $ B=\{ v_{i_{1}},v_{i_{2}},\dots,v_{i_{r}} \} $。

下面验证这时 $ W $ 的基：显然根据选择策略，$ B $ 中的向量显然是线性无关的；并且 $ W\setminus B $ 中的向量都可以被 $ B $ 中的向量线性表示。这就说明了 $ B $ 是 $ W $ 的一个基。

(2)

显然根据定义，有 $$ \text{dim}(\text{span}\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \}) = r $$ 其中 $ r $ 为 $ (1) $ 中构造出的 $ B $ 的大小，$ \left| B \right|=r $。

我们只需要证明若 $ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} $ 线性无关，就有 $ \left| B \right|=n $。根据 $ B $ 的定义，这是显然的，不可能出现一个向量 $ v_{i} $ 被前 $ i-1 $ 个向量线性表示的情况，所以构造 $ B $ 过程会选择所有的向量，我们就得到了 $$ W=B\implies \left| B \right| =r=n $$ 从而 $$ \text{dim}(\text{span}\{ v_{1},v_{2},\dots,v_{n} \}) = n $$

Exercise 3

我们把 $ AB $ 看成将 $ A $ 中的列向量线性组合，于是 $ AB $ 的列空间 $ C(AB) $ 是 $ A $ 的列空间 $ C(A) $ 的子空间，即 $ C(AB)\subseteq C(A) $，所以 $$ \text{dim}(C(AB)) \leq \text{dim}(C(A)) \implies \text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A) $$ 同理，考虑行空间，还可以得到 $ \text{rank}(AB) \leq\text{rank}(B) $。

综上，我们可以得到 $$ \text{rank}(AB) \leq \min\{ \text{rank}(A),\text{rank}(B) \} $$

Exercise 4

(1)

将 $ A $ 化为简化行阶梯形： $$ \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ -2 & 6 & 10 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 从而得到方程 $ -x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=0 $。于是得到两组特解为 $$ \begin{pmatrix} 3 \ \\ 1 \ \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \ \\ 0 \ \\ 1 \end{pmatrix} $$ (2)

将 $ A $ 化为简化行阶梯形： $$ \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ -2 & 6 & 7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 从而得到方程 $$ \begin{cases} x_{1}-3x_{2}=0 \\ x_{3}=0 \end{cases} $$ 得到特解为 $$ \begin{pmatrix} 3 \ \\ 1 \ \\ 0 \end{pmatrix} $$

Exercise 5

求以下 $ n \times n $ 循环矩阵的逆矩阵：

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \ \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \ \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \ \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \end{pmatrix} $$

其中 $ A_{ij} = ((j-i) \bmod n) + 1 $，即每一行都是上一行循环左移一位的结果。

我们构造增广矩阵 $ [A \mid I_n] $：

$$ [A \mid I_n] = \left[\begin{array}{cccccc|cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right] $$ 接着对于 $ i = n, n-1, \ldots, 3, 2 $（从下往上执行），进行 $ R_i \leftarrow R_i - R_{i-1} $ 操作得到 $$ \left[\begin{array}{cccccc|cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 & -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & n-1 & -1 & \cdots & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & -1 & n-1 & \cdots & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 \end{array}\right] $$ 观察到第 2 到第 $ n $ 行形成了一个特殊的模式，每行有一个 $ n-1 $ 和 $ (n-1) $ 个 $ -1 $。

继续进行行化简操作，目标是将左侧矩阵化为单位矩阵 $ I_n $。具体流程为依次消去每一列的其余元素，再回代继续执行消元操作。由于具体的每一步会非常冗长，因此我们这里直接给出最终结果，

经过消元，增广矩阵化为 $ [I_n \mid A^{-1}] $，其中 $$ A^{-1} = \frac{2}{n^2(n+1)} \begin{pmatrix} a & b & 1 & \cdots & 1 \ \\ 1 & a & b & \cdots & 1 \ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \ \\ b & 1 & \cdots & 1 & a \end{pmatrix} $$ 参数为 $$ a = -\frac{n^2 + n - 2}{2}, \quad b = \frac{n^2 + n + 2}{2} $$