Problem 1
(1)
不正确。
反例
设离散概率空间 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $，其中 $ \Omega=\mathbb{N}^{+} $，$ \mathcal{F} $ 是 $ \Omega $ 的幂集，概率测度定义为 $ \mathbb{P}(\{ k \})=\dfrac{1}{2^{k}} $。我们定义随机变量 $ X_{n}:\Omega\to \mathbb{R} $ 为 $$ X_{n}(k) = \begin{cases} 2^{n} & k = n \\ -2^{n+1} & k = n+1\\ 0 & \text{o.w.} \end{cases} $$ 此时显然每个 $ X_{n} $ 都可积，并且 $$ \mathbb{E}[X_{n}] = X_{n}(n)\mathbb{P}(\{ n \}) + X_{n}(n+1)\mathbb{P}(\{ n+1 \}) = 0 \implies \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E}[X_{n}] = 0 $$ 但是 $$ \sum_{n=1}^{\infty} X_{n}(k) = \begin{cases} 2 & k=1 \\ 0 & \text{o.w.} \end{cases} $$ 从而 $$ \mathbb{E}\left[ \sum_{n=1}^{\infty} X_{n} \right] = 2 \times \mathbb{P}(\{ 1 \}) + 0 \times (1 - \mathbb{P}(\{ 1 \})) = 1 $$ 所以此时 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{E}[X_{n}] \neq \mathbb{E}\left[ \sum_{n=1}^{\infty} X_{n} \right] $$ 不成立的原因在于我们需要级数绝对可积才能交换求和和期望。
(2)
不正确。
反例
我们构造 $ X_{n} $ 序列不可积即可。
定义概率空间 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $，其中 $ \Omega=(0,1],\mathcal{F}=\mathcal{B}(0,1],\mathbb{P}=\lambda $。定义随机变量序列 $ X_{n}:(0,1]\to \mathbb{R} $ 为 $$ X_{n}(\omega) = -\dfrac{1}{\omega}\mathbb{I}_{(0,1 / n]}(\omega) $$ 显然此时 $ \{ X_{n} \} $ 满足递增并且 $$ \lim_{ n \to \infty } X_{n} = X = 0 \implies \mathbb{E}[X] = 0 $$ 然而 $$ \mathbb{E}[X_{n}] = \int_{0}^{1} X_{n}(\omega) \mathrm{d}\lambda(\omega) = \int_{0}^{1 / n} -\dfrac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega = -\infty $$ 从而 $$ \lim_{ n \to \infty } \mathbb{E}[X_{n}] = -\infty \neq \mathbb{E}[X] = 0 $$
(3)
正确。
证
我们构造随机变量序列 $ Y_{n}=X_{n}-X_{1} $。显然 $ Y_{n} $ 满足单调并且非负。并且 $$ \lim_{ n \to \infty } Y_{n} = \lim_{ n \to \infty } (X_{n}-X_{1}) = X - X_{1} := Y $$ 根据 MCT，我们得到 $$ \lim_{ n \to \infty } \mathbb{E}[Y_{n}] = \mathbb{E}[Y] $$ 也就是 $$ \lim_{ n \to \infty } \mathbb{E}[X_{n}-X_{1}] = \mathbb{E}[X-X_{1}] $$ 由于可积，$ \mathbb{E}[X_{n}] $ 有限，因此根据期望的可加性，得到 $$ (\lim_{ n \to \infty } \mathbb{E}[X_{n}]) - \mathbb{E}[X_{1}] = \mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[X_{1}] $$ 从而 $$ \lim_{ n \to \infty } \mathbb{E}[X_{n}] = \mathbb{E}[X] $$ 证毕。
(4)
不正确。
证
取 $ \text{sup} $ 的操作不同于 $ \text{inf} $，可能会改变可积性。
定义概率空间 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $，其中 $ \Omega=(0,1],\mathcal{F}=\mathcal{B}(0,1],\mathbb{P}=\lambda $。定义随机变量序列 $ X_{n}:(0,1]\to \mathbb{R} $ 为 $$ X_{n}(\omega) = n\cdot \mathbb{I}_{(0, 1 / n]}(\omega) $$ 满足 $ X_{n} $ 非负。
我们计算每个 $ X_{n} $ 的期望 $$ \mathbb{E}[X_{n}] = \int_{0}^{1} X_{n}(\omega) \mathrm{d}\lambda(x) = n\int_{0}^{1 / n} \mathrm{d}x = 1 $$ 从而 $$ \underset{n\to \infty}{\text{lim sup }} \mathbb{E}[X_{n}] = 1 $$
然而 $$ \underset{n\to \infty}{\text{lim sup }} X_{n} = \lim_{ n \to \infty } X_{n} = 0 $$ 所以 $$ \mathbb{E}[\underset{n\to \infty}{\text{lim sup }} X_{n}] = 0 $$ 结论不成立。
Problem 2
根据题设，每个 $ f_{n} $ 都是在闭区间 $ [a,b] $ 上的连续函数，从而在 Borel Set 中可测。并且一致收敛的连续函数序列的极限也是连续的，从而 $ f $ 也是可测函数。符合 DCT 中对可测性的要求。
并且 $ f_{n} $ 在 $ [a,b] $ 上一致收敛到 $ f $，这是一个强于几乎处处收敛的条件，因此这也满足 DCT 中 $ X_{n}\to X $ 几乎处处收敛的条件。
下面证明满足存在可积控制函数的条件。根据一致收敛的定义，对于任意 $ \varepsilon>0 $，存在 $ N>0 $ 使得对于所有 $ x \in[a,b] $ 有 $ \left| f_{n}(x)-f(x) \right|<\varepsilon $。
由于 $ f $ 是闭区间上的连续函数，因此一定有 $ f $ 有界，从而存在常数 $ M_{f} $ 满足对于所有 $ x $ 都有 $ \left| f(x) \right| 因此我们直接构造出控制函数
$$
g(x) = \max\{ M_{1},M_{2},\dots,M_{N},M_{f}+1 \}
$$
满足对于所有 $ n $ 和 $ x \in[a,b] $ 都有 $ \left| f_{n}(x) \right|\leq g(x) $。并且由于 $ g $ 是一个有限常数，显然是可积的。从而 $ g(x) $ 是一个合法的控制函数，我们这样就证明了满足 DCT 的条件。因此该定理确实是 DCT 的一个特例。 (1) 构造 $ Z_{n}=X_{n}-Y\geq 0 $。如果 $ X_{n},Y $ 可测，那么 $ Z_{n} $ 也可测。根据 Fatou 引理，有
$$
\mathbb{E}[\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}Z_{n}] \leq \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}\mathbb{E}[Z_{n}]
$$
带入 $ X_{n},Y $ 得到
$$
\mathbb{E}[\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}(X_{n}-Y)] \leq \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}\mathbb{E}[X_{n}-Y]
$$
由于 $ Y $ 可积并且几乎处处有限，左侧可以变为 $ \mathbb{E}[(\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}X_{n})-Y] $。再利用期望的线性性，变为 $ \mathbb{E}[(\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}X_{n})]-\mathbb{E}[Y] $。 同样对于右侧先利用期望的线性性变为 $ \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}(\mathbb{E}[X_{n}]-\mathbb{E}[Y]) $，此时 $ \mathbb{E}[Y] $ 是一个常数，所以化为 $ (\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}\mathbb{E}[X_{n}])-\mathbb{E}[Y] $。 由于 $ \mathbb{E}[Y] $ 是有限值，等式两侧都消去 $ \mathbb{E}[Y] $，就得到了
$$
\mathbb{E}[\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}X_{n}] \leq \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }}\mathbb{E}[X_{n}]
$$ (2) 首先，根据题设 $ |X_n| \le Y_n $ 几乎处处成立，且已知 $ \lim_{n \to \infty} Y_n = Y $ 几乎处处成立。对不等式两边取 almost sure 极限，我们得到 $ |X| \le Y $ 几乎处处成立。又因为 $ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[Y_n] = \mathbb{E}[Y] < \infty $，这意味着 $ Y $ 是一个可积随机变量。由于 $ |X| \le Y $ 且 $ Y $ 可积，因此 $ X $ 也是可积的，即 $ \mathbb{E}[X] $ 为有限值。类似地，由于 $ |X_n| \le Y_n $ 且 $ \mathbb{E}[Y_n] $ 有限，所以每个 $ X_n $ 也是可积的，即 $ \mathbb{E}[X_n] $ 也为有限值。 现在，我们考虑非负的随机变量序列 $ Y_n - X_n $。由于 $ |X_n| \le Y_n $ a.s. 意味着 $ X_n \le Y_n $ a.s.，所以 $ Y_n - X_n \ge 0 $ a.s.。根据 Fatou 引理，我们有
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[Y_n - X_n] \ge \mathbb{E}\left[ \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (Y_n - X_n) \right]
$$
由于 $ \lim_{n \to \infty} Y_n = Y $ a.s. 且 $ \lim_{n \to \infty} X_n = X $ a.s.，因此 $ \lim_{n \to \infty} (Y_n - X_n) = Y - X $ a.s.。所以在期望内部的极限下限为 $ \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (Y_n - X_n) = Y-X $ a.s.。 因此，上述不等式右边为 $ \mathbb{E}[Y - X] $。由于 $ Y $ 和 $ X $ 均可积，根据期望的线性性， $ \mathbb{E}[Y - X] = \mathbb{E}[Y] - \mathbb{E}[X] $。 同时，考察不等式左边。由于 $ \mathbb{E}[Y_n] $ 和 $ \mathbb{E}[X_n] $ 都是有限值，根据期望的线性性， $ \mathbb{E}[Y_n - X_n] = \mathbb{E}[Y_n] - \mathbb{E}[X_n] $。因此
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[Y_n - X_n] = \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (\mathbb{E}[Y_n] - \mathbb{E}[X_n])
$$
根据下极限的性质，由于题设给出 $ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[Y_n] = \mathbb{E}[Y] $ 存在，我们得到
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (\mathbb{E}[Y_n] - \mathbb{E}[X_n]) = \mathbb{E}[Y] - \underset{n\to \infty}{\text{lim sup }} \mathbb{E}[X_n]
$$
代回到 Fatou 引理的不等式中，我们得到
$$
\mathbb{E}[Y] - \mathbb{E}[X] \le \mathbb{E}[Y] - \lim_{n \to \infty} \sup \mathbb{E}[X_n]
$$
由于 $ \mathbb{E}[Y] < \infty $ 是一个有限值，我们可以从不等式两边同时减去 $ \mathbb{E}[Y] $，整理得到
$$
\lim_{n \to \infty} \sup \mathbb{E}[X_n] \le \mathbb{E}[X]
$$ 同样的，我们考察非负的随机变量序列 $ Y_n + X_n $。由于 $ |X_n| \le Y_n $ a.s. 意味着 $ X_n \ge -Y_n $ a.s.，所以 $ Y_n + X_n \ge 0 $ a.s.。根据 Fatou 引理，我们有
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[Y_n + X_n] \ge \mathbb{E}\left[ \lim_{n \to \infty} \inf (Y_n + X_n) \right]
$$
由于 $ \lim_{n \to \infty} Y_n = Y $ a.s. 且 $ \lim_{n \to \infty} X_n = X $ a.s.，因此 $ \lim_{n \to \infty} (Y_n + X_n) = Y + X $ a.s.。所以在期望内部的极限下限为 $ \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (Y_n + X_n) = Y+X $ a.s.。 因此，上述不等式右边为 $ \mathbb{E}[Y + X] $。由于 $ Y $ 和 $ X $ 均可积，根据期望的线性性， $ \mathbb{E}[Y + X] = \mathbb{E}[Y] + \mathbb{E}[X] $。 同时，考察不等式左边。由于 $ \mathbb{E}[Y_n] $ 和 $ \mathbb{E}[X_n] $ 都是有限值，根据期望的线性性， $ \mathbb{E}[Y_n + X_n] = \mathbb{E}[Y_n] + \mathbb{E}[X_n] $。因此
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[Y_n + X_n] = \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (\mathbb{E}[Y_n] + \mathbb{E}[X_n])
$$
根据下极限的性质，由于题设给出 $ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[Y_n] = \mathbb{E}[Y] $ 存在，我们得到
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} (\mathbb{E}[Y_n] + \mathbb{E}[X_n]) = \mathbb{E}[Y] + \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[X_n]
$$
代回到 Fatou 引理的不等式中，得到
$$
\mathbb{E}[Y] + \mathbb{E}[X] \le \mathbb{E}[Y] + \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[X_n]
$$
由于 $ \mathbb{E}[Y] < \infty $ 是一个有限值，两边同时减去 $ \mathbb{E}[Y] $，并整理得到
$$
\mathbb{E}[X] \le \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[X_n]
$$ 综上，我们得到了
$$
\underset{n\to \infty}{\text{lim sup }} \mathbb{E}[X_n] \le \mathbb{E}[X] \le \underset{n\to \infty}{\text{lim inf }} \mathbb{E}[X_n].
$$
由于对于任何实数序列，其极限下限总是小于或等于其极限上限，即 $ \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] \le \limsup_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] $。为了使上述串联不等式链成立，唯一的可能性是所有项都相等，即
$$
\lim_{n \to \infty} \sup \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X] = \lim_{n \to \infty} \inf \mathbb{E}[X_n].
$$
这表明序列 $ \{\mathbb{E}[X_n]\} $ 的极限存在，并且等于 $ \mathbb{E}[X] $。所以 $ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X] $ 得证。Problem 3